1. 如何理解Log 函數？

2. 證明三角形的三隻角的總和是180度

3. 證明Pythagoras Theorem a²+b²= c²

4.長方形,三角形,平行四邊形, 梯形的面積

5. 為何三角錐體 (Triangular Pyramid )的體積是三分一底面積乘高

6. 為何不論圓的大小，圓周率（π = 圓周／直徑）是一樣的？

7. 在圓形裏，任何直徑頭尾兩點，和任何圓形上的一點A形成的三角形，A點的⻆度都是90度

8. 球體體積

9. xⁿ = 1的複數解 (nth roots of unity)

10. 為何 e^ix = cos (x) + i sin (x)

11. 三角形面積公式

12. 用隨機數(random number)找出圓形上最大的三角形面積

13. 用Monte Carlo方法找出π的值

14. 二次方程式 (quadratic equation ax² + bx + c=0 ) 和三次方程式(cubic equation ax³ + bx² + cx + d=0 )的三種情況

15.

 

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1. 如何理解Log 函數？

i) 我們知道: 10 x 10 x .. (自乘4次) = 10000 = 10⁴

10 x 10 x .. (自乘5次) = 100000 = 10⁵

現在給你一個數, 1000, 問這個數是10 乘幾多次出來的?

透過Log function 就可得出 (用計數機)

log 1000 = 3

因為log 10³ = 3

即是說, Log 的功能是取其指數

log 10²⁰ = 20

log 10^Y = Y

如果想知道 81是由3乘幾多次出來的 ( 3 x 3 x .. )?

這時base 要變成3,而不是10

log ₃ 81 = 4 (注意: 如果base不寫出來, base就是10, 答案會不一樣 )

為什麼答案是4 ? 因為 log ₃ 3⁴ = 4 ( 取了其指數)

簡單來說, Log函數是逆轉指數函數:

7¹¹ = 1977326743 (指數函數: 7^X)

Log ₇ 1977326743 = 11 (Log函數: log X)

ii) 常用的 base有: 10, 2, e常數

(e常數的值是2.71828182845 .., 一般取近似值2.718)

例子:

log 123 = 2.0899 (base不寫出來, 所以base = 10)

log ₂ 64 = 6 ( base =2 ) 因為64 = 2⁶

log _e 456 = 6.122 ( 當base 是e 時, log _e寫成ln, 讀做natural log ) 即ln 456 = 6.122

iii) 如何理解指數不是整數 (例如17 ^1.5 , 3 ^{2.48 )} ? 1.5次方是什麼意思, 2.48 次方是什麼?

用17 ^1.5為例, 因為1.5 可以寫成分數 , 所以17 ^1.5 可以變成 , 又可以寫成 a) 或 b)

a) 的意思是先將17自乘15次,然後開10次方 (= ) ;

b) 的意思是先將17開10次方,然後才自乘15次 ( = )

a) 和b) 的結果是一樣的.

所以當指數不是整數時,是沒有問題的,先變成分數來看, 然後變成次方和開方的組合.

同樣地, 在Log function也可得出非整數的答案 (例如 log 123 = 2.0899 )

 

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2. 證明三角形的三隻角的總和是180度

 

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3. 證明Pythagoras Theorem a²+b²= c²

 

 

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4.長方形,三角形,平行四邊形的面積

長方形面積: 底乘高 (a*b)

 

直角三角形面積: 由長方形分成一半,所以是: 底乘高除2

(a*b)/2

 

為什麼不只直角三角形,所有三角形面積都是底乘高除2?

因為只要將三角形切成兩個直角三角形,將兩個面積相加,得出來的公式都是底乘高除2

(a*b)/2

 

 

平行四邊形的面積為什麼是底乘高

a*b

 

 

梯形面積: （上底 ＋ 下底）乘高除2

 

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5. 為何三角錐體 (Triangular Pyramid )的體積是三分一底面積乘高

 

假設h = 20， 最底 (x=20) 面積是A，

Triangle 面積是(1/2) c*d*sin y =A

在x=10的位置， 面積就是A/4， 因為每條邊縮了一半。

在任意x的位置， 面積就是 A * (x／20)^2

利用微積分(calculus)，體積是面積乘厚度dx ，即是 A * (x/20)^2 dx

將20改回h ，

pyramid體積是 integrate A * (x/h)^2 dx from 0 to h

 

 

同一道理， CONE(圓錐體) 體積也是三分一底面積乘高

 

 

 

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6. 為何不論圓的大小，圓周率（π = 圓周／直徑）是一樣的？

 

 

當分割成n份

c= 2* r1 * sin(360^o/2n) = 2*r1*sin(180^o/n)

d= 2* r2 * sin(360^o/2n) = 2*r2*sin(180^o/n)

細圓的圓周, L = =

大圓的圓周, S = =

細圓的圓周率= L/(2*r1) =

大圓的圓周率= S/(2*r2) =

由此可見，不論圓大小，任何圓的圓周率都是一樣的。

 

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7. 在圓形裏，任何直徑頭尾兩點，和任何圓形上的一點A形成的三角形，A點的⻆度都是90度

 

 

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8.球體體積

將球體分成厚度dx的碟形，碟形的體積是π y² dx，利用微積分，從 -a integrate到 a，就是整體的體積

 

 

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9. xⁿ = 1的複數解 (nth roots of unity)

xⁿ = 1的解非常容易，在complex plane, 將一個unit circle切成n等份，例如n=5，就切成5份, 在圓上的n個點就是roots了。

 

x = cos (a * 360^o/n) + i sin (a*360^o/n) a=0,1,2, n-1

例如n=5,

x1 = cos (0^o) + i sin (0^o)

x2 = cos (72^o) + i sin (72^o)

x3 = cos (2*72^o) + i sin (2*72^o)

x4 = cos (3*72^o) + i sin (3*72^o)

x5 = cos (4*72^o) + i sin (4*72^o)

 

假如xⁿ = 30，將以上xⁿ = 1的各個root乘 就可以了(因為xⁿ /30 = 1 --> ⁿ)，如此類推。

 

其實

xⁿ = 1 = cos (0) + i sin (0) = cos (2π) + i sin (2π) = cos (4π) + i sin (4π) ..

= cos (2πm) + i sin (2πm) where m= 0,1,2

 

利用 e^iθ = cos (θ) + i sin (θ)

 

xⁿ = e^i2πm

x = e^{i2πm/n =} cos (2πm/n) + i sin (2πm/n) where m =0,1,2, n-1 (之後的會重複)

 

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10. 為何 e^ix = cos (x) + i sin (x)

利用 Taylor series展開e^x (Taylor series: )

 

 

Replace x by ix:

 

將有i和無i的分為兩組

 

展開cos (x) 和 sin (x)

 

所以 e^ix = cos (x) + i sin (x)

 

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11. 三角形面積公式

 

 

h= .(1)

=

 

=

=

=

 

=

 

Put x into (1)

h=

 

三角形面積 =

 

= ==

 

=

 

==

 

==

 

=

 

==

..where

 

 

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12. 用隨機數(random number)找出圓形上最大的三角形面積

那一個圓的面積會最大？直覺上，等邊三角形應該會最大，且看看是不是

 

 

 

先固定三角形的一點 (x0,y0) = (1,0)

x1用一個隨機數（由-1到1）

x2用另一個隨機數（由-1到1）

邊長 a=

a =

b =

c =

 

..where

 

將公式放在Excel計算，利用RAND() 產生random number(隨機數),

由於Excel的 RAND()會產生由0到1的數，為了變成-1到1，

將x1寫成: random number 乘2 減 1，x2也一樣，

將公式輸入後，向下拉大約一萬行(越多越好)，將這堆數copy and paste到另一頁(用paste special: values )，用area排序(由大到小)

 

 

在最大area的情況下, x1和x2是差不多(約 -0.5)，a,b,c也大約1.73，可見等邊三角形面積是最大的。

這方法也可以用來找出橢圓形上最大的三角形，但要用三個隨機數(x1,x2,x3)。

 

以下計算 a 的真實數值:

 

 

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13. 用Monte Carlo方法找出π的值

用兩個隨機數(random number)分別產生x和y (都是由0到1) 作為 (x,y) 坐標

如果這點跟圓中心(0.5,0.5) 的距離 ( ) 少過或等如 0.5，就判定屬於圓裏面。

 

用電腦做幾千萬次試驗，統計有幾多次落入圓裏面，然後除以總次數，這個機會率等於圓形和正方形的面積比 。

將這個機會率乘上四，就得出π的值，次數越多越接近真實的值。

 

以下用Excel macro VBA run了五千萬次得出來的結果:

 

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14. 二次方程式 (quadratic equation ax² + bx + c=0 ) 和三次方程式(cubic equation ax³ + bx² + cx + d=0 )的三種情況

 

 

i)不接觸x-axis，沒有實數解，但有複數解（兩個）

x²+2x+12 = (x + (1-)) (x + (1+))

 

ii)接觸x-axis於一點，有一個實數解（兩個根相同）

x²+2x+1 = (x+1)(x+1)

 

iii)相交x-axis兩點，有兩個實數解

x²+2x-8 = (x+4)(x-2)

 

 

 

i) 接觸x-axis於1點，有1個實數解，2個複數解

f(x)=(x+18) (x² +2x+120) = (x+18) (x + (1-) (x + (1+) = x³ + 20x² + 156x + 2160

 

ii)接觸x-axis於2點，有2個實數解

g(x)=(x+15) (x-3) (x-3)= x³ + 9x² - 81x + 135

 

iii) 接觸x-axis於3點，有3個實數解

h(x)=(x+12) (x+2) (x-15)= x³ - x² - 186x - 360

 

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